3 tapaa ratkaista kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät

Sisällysluettelo:

3 tapaa ratkaista kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät
3 tapaa ratkaista kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät

Video: 3 tapaa ratkaista kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät

Video: 3 tapaa ratkaista kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät
Video: LISÄÄ SUORITUSKYKYÄ - KUINKA NOPEUTTAA WINDOWS 10 2024, Maaliskuu
Anonim

"Yhtälöjärjestelmässä" sinua pyydetään ratkaisemaan kaksi tai useampia yhtälöitä samanaikaisesti. Kun näissä on kaksi eri muuttujaa, kuten x ja y tai a ja b, voi olla ensi silmäyksellä hankalaa nähdä, miten ne ratkaistaan. Onneksi kun tiedät mitä tehdä, tarvitset vain algebran perustaidot (ja joskus jonkin verran tietoa murto -osista) ongelman ratkaisemiseksi. Jos olet visuaalinen oppija tai jos opettajasi sitä vaatii, opi piirtämään yhtälöt myös. Piirrokset voivat olla hyödyllisiä "nähdäkseen mitä tapahtuu" tai tarkistaa työsi, mutta se voi olla hitaampaa kuin muut menetelmät, eikä se toimi hyvin kaikissa yhtälöjärjestelmissä.

Askeleet

Menetelmä 1/3: Korvausmenetelmän käyttö

Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 1
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 1

Vaihe 1. Siirrä muuttujat yhtälön eri puolille

Tämä "korvaus" -menetelmä alkaa "ratkaisemalla x" (tai mikä tahansa muu muuttuja) yhdessä yhtälöistä. Oletetaan esimerkiksi, että yhtälöt ovat 4x + 2v = 8 ja 5x + 3v = 9. Aloita katsomalla vain ensimmäistä yhtälöä. Järjestä se vähentämällä 2y kummaltakin puolelta saadaksesi: 4x = 8-2 v.

Tämä menetelmä käyttää usein murto -osia myöhemmin. Voit kokeilla alla olevaa poistomenetelmää, jos et pidä murto -osista

Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 2
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 2

Vaihe 2. Jaa yhtälön molemmat puolet "ratkaise x: lle

" Kun sinulla on x -termi (tai mikä tahansa käyttämäsi muuttuja) yhtälön toisella puolella, jaa yhtälön molemmat puolet saadaksesi muuttuja yksin. Esimerkiksi:

  • 4x = 8-2 v
  • (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
  • x = 2 - ½ v
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 3
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 3

Vaihe 3. Liitä tämä takaisin toiseen yhtälöön

Varmista, että palaat toiseen yhtälöön, ei jo käyttämääsi yhtälöön. Korvaa tässä yhtälössä ratkaisemasi muuttuja niin, että vain yksi muuttuja on jäljellä. Esimerkiksi:

  • Tiedät sen x = 2 - ½ v.
  • Toinen yhtälösi, jota et ole vielä muuttanut, on 5x + 3v = 9.
  • Korvaa toisessa yhtälössä x sanalla "2 - ½y": 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 4
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 4

Vaihe 4. Ratkaise jäljellä oleva muuttuja

Sinulla on nyt yhtälö, jossa on vain yksi muuttuja. Käytä tavallisen algebran tekniikoita kyseisen muuttujan ratkaisemiseen. Jos muuttujasi poistuvat käytöstä, siirry viimeiseen vaiheeseen.

Muussa tapauksessa saat vastauksen johonkin muuttujastasi:

  • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
  • 10 - (5/2) y + 3y = 9
  • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Jos et ymmärrä tätä vaihetta, opi lisäämään murtolukuja. Tämä on usein, mutta ei aina, välttämätöntä tässä menetelmässä.)
  • 10 + ½ v = 9
  • ½y = -1
  • y = -2
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 5
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 5

Vaihe 5. Käytä vastausta toisen muuttujan ratkaisemiseen

Älä tee virhettä jättämällä ongelma puoliksi valmiiksi. Sinun on liitettävä saamasi vastaus yhteen alkuperäisistä yhtälöistä, jotta voit ratkaista toisen muuttujan:

  • Tiedät sen y = -2
  • Yksi alkuperäisistä yhtälöistä on 4x + 2v = 8. (Voit käyttää jompaa kumpaa yhtälöä tässä vaiheessa.)
  • Liitä -2 y: n sijaan: 4x + 2 (-2) = 8.
  • 4x - 4 = 8
  • 4x = 12
  • x = 3
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 6
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 6

Vaihe 6. Tiedä mitä tehdä, kun molemmat muuttujat poistuvat käytöstä

Kun kytket x = 3v+2 tai vastaavan vastauksen toiseen yhtälöön, yrität saada yhtälön, jossa on vain yksi muuttuja. Joskus saat yhtälön, jossa ei ole muuttujia. Tarkista työsi uudelleen ja varmista, että liität (uudelleen järjestetty) yhtälön yhden yhtälöön kaksi, ei vain takaisin yhtälöön yksi uudelleen. Jos olet varma, ettet tehnyt virheitä, sinulla on jokin seuraavista tuloksista:

  • Jos saat yhtälön, jossa ei ole muuttujia ja joka ei ole totta (esimerkiksi 3 = 5), ongelma on ei ratkaisua. (Jos piirtäisit molemmat yhtälöt, näet, että ne ovat yhdensuuntaisia eivätkä koskaan leikkaa toisiaan.)
  • Jos päädyt yhtälöön ilman muuttujia, joka on tosi (kuten 3 = 3), ongelma on loputtomia ratkaisuja. Kaksi yhtälöä ovat täsmälleen yhtä suuret toistensa kanssa. (Jos piirtäisit nämä kaksi yhtälöä, näet niiden olevan sama viiva.)

Menetelmä 2/3: Eliminaatiomenetelmän käyttö

Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 7
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 7

Vaihe 1. Etsi muuttuja, joka mitätöi sen

Joskus yhtälöt "peruuttavat" muuttujan, kun lisäät ne yhteen. Esimerkiksi, kun yhdistät yhtälöt 3x + 2v = 11 ja 5x - 2y = 13, "+2y" ja "-2y" peruuttavat toisensa poistamalla kaikki "y": t yhtälöstä. Katso ongelmasi yhtälöitä ja selvitä, kumoutuuko jokin muuttujista näin. Jos kumpikaan ei halua, lue neuvoja seuraavasta vaiheesta.

Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 8
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 8

Vaihe 2. Kerro yksi yhtälö, jotta muuttuja poistuu

(Ohita tämä vaihe, jos muuttujat jo peruutetaan.) Jos yhtälöillä ei ole muuttujaa, joka kumoaa luonnollisesti, muuta yhtä yhtälöistä niin. Tätä on helpointa seurata esimerkin avulla:

  • Sinulla on yhtälöjärjestelmä 3x - y = 3 ja - x + 2y = 4.
  • Muutetaan ensimmäinen yhtälö siten, että y muuttuja poistuu käytöstä. (Voit valita x sen sijaan saat lopulta saman vastauksen.)
  • The - y ensimmäisen yhtälön täytyy peruuttaa + 2 v toisessa yhtälössä. Voimme saada tämän aikaan kertomalla - y 2.
  • Kerro ensimmäisen yhtälön molemmat puolet 2: lla seuraavasti: 2 (3x - y) = 2 (3), niin 6x - 2v = 6. Nyt - 2 v peruuttaa kanssa +2 v toisessa yhtälössä.
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 9
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 9

Vaihe 3. Yhdistä kaksi yhtälöä

Jos haluat yhdistää kaksi yhtälöä, lisää vasemmat sivut yhteen ja oikeat sivut yhteen. Jos asetat yhtälön oikein, jonkin muuttujan pitäisi perua. Tässä on esimerkki, jossa käytetään samoja yhtälöitä kuin viimeisessä vaiheessa:

  • Sinun yhtälöt ovat 6x - 2v = 6 ja - x + 2y = 4.
  • Yhdistä vasemmat puolet: 6x - 2v - x + 2v =?
  • Yhdistä oikeat puolet: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 10
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 10

Vaihe 4. Ratkaise viimeinen muuttuja

Yksinkertaista yhdistettyä yhtälöä ja käytä sitten perusalgebraa viimeisen muuttujan ratkaisemiseen. '' Jos muuttujia ei ole yksinkertaistamisen jälkeen, siirry sen sijaan tämän osan viimeiseen vaiheeseen.

Muussa tapauksessa sinun pitäisi saada yksinkertainen vastaus johonkin muuttujastasi. Esimerkiksi:

  • Sinulla on 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
  • Ryhmittele x ja y muuttujat yhdessä: 6x - x - 2v + 2v = 6 + 4.
  • Yksinkertaistaa: 5x = 10
  • Ratkaise x: lle: (5x)/5 = 10/5, niin x = 2.
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 11
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 11

Vaihe 5. Ratkaise toinen muuttuja

Olet löytänyt yhden muuttujan, mutta et ole vielä valmis. Liitä vastauksesi yhteen alkuperäisistä yhtälöistä, jotta voit ratkaista toisen muuttujan. Esimerkiksi:

  • Tiedät sen x = 2, ja yksi alkuperäisistä yhtälöistäsi on 3x - y = 3.
  • Liitä 2 x: n sijaan: 3 (2) - y = 3.
  • Ratkaise y yhtälössä: 6 - y = 3
  • 6 - y + y = 3 + y, niin 6 = 3 + y
  • 3 = y
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 12
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 12

Vaihe 6. Tiedä mitä tehdä, kun molemmat muuttujat poistuvat käytöstä

Joskus kahden yhtälön yhdistäminen johtaa yhtälöön, jossa ei ole järkeä tai joka ei ainakaan auta sinua ratkaisemaan ongelmaa. Tarkista työsi alusta alkaen, mutta jos et tehnyt virhettä, kirjoita vastaukseksi jokin seuraavista:

  • Jos yhdistetyssä yhtälössäsi ei ole muuttujia eikä se ole totta (kuten 2 = 7), niin on ei ratkaisua joka toimii molemmilla yhtälöillä. (Jos piirrät molemmat yhtälöt, näet, että ne ovat yhdensuuntaisia eivätkä koskaan risteä.)
  • Jos yhdistetyssä yhtälössäsi ei ole muuttujia ja se on tosi (kuten 0 = 0), niin niitä on loputtomia ratkaisuja. Nämä kaksi yhtälöä ovat itse asiassa identtisiä. (Jos piirrät ne, näet, että ne ovat sama viiva.)

Tapa 3/3: Yhtälöiden piirtäminen

Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 13
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 13

Vaihe 1. Käytä tätä menetelmää vain silloin, kun sitä kehotetaan tekemään

Ellet käytä tietokonetta tai graafista laskinta, monet yhtälöjärjestelmät voidaan ratkaista vain suunnilleen tällä menetelmällä. Opettajasi tai matematiikan oppikirjasi voivat vaatia sinua käyttämään tätä menetelmää, jotta tunnet kaavioiden piirtämisen viivoina. Voit myös käyttää tätä menetelmää tarkistaaksesi vastauksesi jostakin muusta menetelmästä.

Perusajatuksena on piirtää molemmat yhtälöt ja löytää kohta, jossa ne leikkaavat. Tässä vaiheessa olevat x- ja y -arvot antavat meille arvon x ja y: n arvon yhtälöjärjestelmässä

Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 14
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 14

Vaihe 2. Ratkaise molemmat yhtälöt y: lle

Pidä kaksi yhtälöä erillään, käytä algebraa kääntääksesi kunkin yhtälön muotoon "y = _x + _". Esimerkiksi:

  • Ensimmäinen yhtälösi on 2x + y = 5. Muuta tämä y = -2x + 5.
  • Toinen yhtälösi on - 3x + 6y = 0. Muuta tämä 6y = 3x + 0, yksinkertaista sitten y = ½x + 0.
  • Jos molemmat yhtälöt ovat identtisiä, koko linja on "risteys". Kirjoittaa loputtomia ratkaisuja.
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 15
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 15

Vaihe 3. Piirrä koordinaattiakselit

Piirrä piirtopaperille pystysuora "y -akseli" ja vaakasuora "x -akseli". Aloita kohdasta, jossa ne leikkaavat, merkitse numerot 1, 2, 3, 4 jne. Ylöspäin y-akselilla ja jälleen oikealle x-akselille. Merkitse numerot -1, -2 jne. Y -akselilla alaspäin ja vasemmalle x -akselille.

  • Jos sinulla ei ole piirtopaperia, käytä viivainta varmistaaksesi, että numerot ovat tarkasti erillään toisistaan.
  • Jos käytät suuria numeroita tai desimaaleja, sinun on ehkä skaalattava kaaviota eri tavalla. (Esimerkiksi 10, 20, 30 tai 0,1, 0,2, 0,3 1, 2, 3 sijaan).
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 16
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 16

Vaihe 4. Piirrä y-leikkauskohta jokaiselle suoralle

Kun sinulla on yhtälö muodossa y = _x + _, voit aloittaa piirtämisen piirtämällä pisteen kohtaan, jossa viiva leikkaa y-akselin. Tämä tulee aina olemaan y-arvossa, joka on yhtälö viimeisen luvun kanssa.

  • Aiemmissa esimerkeissämme yksi rivi (y = -2x + 5) katkaisee y-akselin

    Vaihe 5.. Toinen (y = ½x + 0) sieppaa osoitteessa 0. (Nämä ovat kaavion pisteitä (0, 5) ja (0, 0).)

  • Käytä eri värejä tai lyijykynää, jos mahdollista kahdelle riville.
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 17
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 17

Vaihe 5. Käytä rinteitä jatkaaksesi viivoja

Muodossa y = _x + _, x: n edessä oleva luku on suoran kaltevuus. Aina kun x kasvaa yhdellä, y-arvo kasvaa kaltevuuden verran. Käytä näitä tietoja kaavion pisteen piirtämiseen jokaiselle riville, kun x = 1. (Vaihtoehtoisesti liitä x = 1 kullekin yhtälölle ja ratkaise y: lle.)

  • Esimerkissämme viiva y = -2x + 5 on kaltevuus - 2. Kun x = 1, viiva siirtyy 2 alaspäin pisteestä x = 0. Piirrä viivan osa (0, 5) ja (1, 3).
  • Linja y = ½x + 0 on kaltevuus ½. Kun x = 1, suora siirtyy ½ ylöspäin pisteestä x = 0. Piirrä viivaosuus (0, 0) ja (1, ½) välille.
  • Jos linjoilla on sama kaltevuus, viivat eivät koskaan leikkaa, joten yhtälöjärjestelmään ei ole vastausta. Kirjoittaa ei ratkaisua.
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 18
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 18

Vaihe 6. Jatka viivojen piirtämistä, kunnes ne leikkaavat

Pysähdy ja katso kaaviota. Jos viivat ovat jo ylittyneet, siirry seuraavaan vaiheeseen. Muussa tapauksessa tee päätös linjojen toiminnan perusteella:

  • Jos viivat liikkuvat toisiaan kohti, jatka pisteiden piirtämistä siihen suuntaan.
  • Jos viivat etenevät toisistaan, siirry taaksepäin ja piirrä pisteet toiseen suuntaan alkaen x = -1.
  • Jos viivat eivät ole lähellä toisiaan, yritä hypätä eteenpäin ja piirtää kauempana olevia pisteitä, kuten x = 10.
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 19
Ratkaise kaksi muuttujaa sisältävät algebralliset yhtälöjärjestelmät Vaihe 19

Vaihe 7. Etsi vastaus risteyksestä

Kun kaksi viivaa leikkaavat, x- ja y -arvot ovat vastaus ongelmaan. Jos olet onnekas, vastaus on kokonaisluku. Esimerkiksi esimerkeissämme kaksi riviä leikkaavat kohdassa (2, 1) niin vastauksesi on x = 2 ja y = 1. Joissakin yhtälöjärjestelmissä viivat leikkaavat kahden kokonaisluvun välisessä arvossa, ja ellei kuvaaja ole erittäin tarkka, on vaikea sanoa, missä tämä on. Jos näin tapahtuu, voit kirjoittaa vastauksen, kuten "x on välillä 1 ja 2", tai käyttää korvaus- tai eliminointimenetelmää löytääksesi tarkan vastauksen.

Video - Käyttämällä tätä palvelua joitakin tietoja voidaan jakaa YouTuben kanssa

Vinkkejä

  • Voit tarkistaa työn liittämällä vastaukset takaisin alkuperäisiin yhtälöihin. Jos yhtälöt ovat totta (esimerkiksi 3 = 3), vastauksesi on oikea.
  • Poistomenetelmässä sinun on joskus kerrottava yksi yhtälö negatiivisella luvulla, jotta muuttuja voidaan peruuttaa.

Varoitukset

Näitä menetelmiä ei voida käyttää, jos eksponenttiin on nostettu muuttuja, kuten x2. Lisätietoja tämän tyyppisistä yhtälöistä on oppaassa, jossa kerrotaan kvadraatteja kahdella muuttujalla.

Suositeltava: