Laskureita edeltävinä päivinä opiskelijoiden ja professoreiden piti laskea neliöjuuret käsin. Tämän pelottavan prosessin ratkaisemiseksi on kehitetty useita erilaisia menetelmiä, joista jotkut antavat karkean likimääräisen, toiset antavat tarkan arvon. Jos haluat oppia löytämään numeron neliöjuuren yksinkertaisilla toiminnoilla, aloita vaiheesta 1 alla.
Askeleet
Menetelmä 1 /2: Prime Factorization
Vaihe 1. Jaa numerosi täydellisiin neliökertoimiin
Tämä menetelmä käyttää numeron tekijöitä löytääkseen luvun neliöjuuren (numerosta riippuen tämä voi olla tarkka numeerinen vastaus tai läheinen arvio). Luvun tekijät ovat mikä tahansa joukko muita numeroita, jotka kerrotaan yhdessä sen muodostamiseksi. Voit esimerkiksi sanoa, että kertoimet 8 ovat 2 ja 4, koska 2 × 4 = 8. Täydelliset neliöt ovat toisaalta kokonaislukuja, jotka ovat muiden kokonaislukujen tuloa. Esimerkiksi 25, 36 ja 49 ovat täydellisiä neliöitä, koska ne ovat 52, 62ja 72vastaavasti. Täydelliset neliötekijät ovat, kuten olette arvanneet, tekijät, jotka ovat myös täydellisiä neliöitä. Aloita neliöjuuren löytäminen alkutekijällä, yritä ensin pienentää lukumäärän täydelliseksi neliökertoimeksi.
- Käytetään esimerkkiä. Haluamme löytää 400: n neliöjuuren käsin. Aluksi jaamme luvun täydellisiin neliötekijöihin. Koska 400 on sadan kerrannainen, tiedämme, että se jakautuu tasaisesti 25: llä - täydellinen neliö. Nopea henkinen jako kertoo meille, että 25 menee 400: een 16 kertaa. 16, sattumalta, on myös täydellinen neliö. Täydelliset neliökerroimet 400 ovat siis 25 ja 16 koska 25 × 16 = 400.
- Kirjoittaisimme tämän seuraavasti: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Vaihe 2. Ota täydellisten neliötekijöidesi neliöjuuret
Neliöjuuren tuoteominaisuuden mukaan minkä tahansa annetun luvun a ja b osalta Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Tämän ominaisuuden vuoksi voimme nyt ottaa täydellisten neliötekijöidemme neliöjuuret ja kertoa ne yhdessä saadaksemme vastauksemme.
-
Esimerkissämme otamme neliöjuuret 25 ja 16. Katso alla:
- Sqrt (25 × 16)
- Sqrt (25) × Sqrt (16)
-
5 × 4 =
Vaihe 20.
Vaihe 3. Vähennä vastaustasi yksinkertaisimmilla termeillä, jos numerosi ei ole täydellinen
Todellisessa elämässä useimmiten neliöjuuren löytämiseen tarvittavat luvut eivät ole kauniita pyöreitä numeroita, joilla on ilmeiset täydelliset neliökertoimet, kuten 400. Näissä tapauksissa tarkkaa vastausta ei ehkä ole mahdollista löytää kokonaisluku. Sen sijaan etsimällä täydelliset neliökerroimet voit löytää vastauksen pienemmällä, yksinkertaisemmalla, helpommin hallittavalla neliöjuurella. Voit tehdä tämän vähentämällä numerosi täydellisten neliötekijöiden ja epätäydellisten neliötekijöiden yhdistelmään ja yksinkertaista sitten.
-
Käytetään esimerkkinä neliöjuuri 147. 147 ei ole kahden täydellisen neliön tulos, joten emme voi saada tarkkaa kokonaislukuarvoa kuten yllä. Se on kuitenkin yhden täydellisen neliön ja toisen numeron tulos - 49 ja 3. Voimme käyttää näitä tietoja kirjoittaaksemme vastauksemme yksinkertaisimmin seuraavasti:
- Neliö (147)
- = Neliömetriä (49 × 3)
- = Sqrt (49) × Sqrt (3)
- = 7 × neliömetriä (3)
Vaihe 4. Arvioi tarvittaessa
Yksinkertaisimmillaan neliöjuuren avulla on yleensä melko helppo saada karkea arvio numeerisesta vastauksesta arvaamalla jäljellä olevien neliöjuurten arvo ja kertomalla se. Yksi tapa ohjata arvioitasi on löytää täydelliset neliöt neliöjuuren numeron kummaltakin puolelta. Tiedät, että neliöjuuren luvun desimaaliarvo on jossain näiden kahden numeron välissä, joten voit arvata niiden välillä.
-
Palataan esimerkkiimme. Koska 22 = 4 ja 12 = 1, tiedämme, että Sqrt (3) on välillä 1 - 2 - luultavasti lähempänä 2 kuin 1. Arvioimme 1,7. 7 × 1,7 = 11.9 Jos tarkastelemme työtämme laskimessa, voimme nähdä, että olemme melko lähellä todellista vastausta 12.13.
Tämä toimii myös suuremmille numeroille. Esimerkiksi neliö (35) voidaan arvioida olevan 5–6 (luultavasti hyvin lähellä kuutta). 52 = 25 ja 62 = 36. 35 on välillä 25 ja 36, joten sen neliöjuuren on oltava välillä 5 ja 6. Koska 35 on vain yhden etäisyyden päässä 36: sta, voimme sanoa luottavaisin mielin, että sen neliöjuuri on vain pienempi kuin 6. Laskurilla tarkistaminen antaa saimme vastauksen noin 5,92 - olimme oikeassa.
Vaihe 5. Pienennä numerosi alimpaan yhteiseen tekijään ensimmäiseksi
Täydellisten neliötekijöiden löytäminen ei ole välttämätöntä, jos voit helposti määrittää luvun alkutekijät (tekijät, jotka ovat myös alkulukuja). Kirjoita numerosi pienimpiin yhteisiin tekijöihin. Etsi sitten tekijöistäsi vastaavia alkulukupareja. Kun löydät kaksi alkutekijää, jotka vastaavat toisiaan, poista molemmat luvut neliöjuurista ja aseta yksi näistä numeroista neliöjuuren ulkopuolelle.
-
Esimerkkinä löydetään neliöjuuri 45 tällä menetelmällä. Tiedämme, että 45 = 9 × 5 ja tiedämme, että 9 = 3 × 3. Siten voimme kirjoittaa neliöjuurimme sen tekijöiden perusteella seuraavasti: Sqrt (3 × 3 × 5). Poista yksinkertaisesti 3: t ja aseta yksi 3 neliöjuuren ulkopuolelle, niin saat neliöjuuren yksinkertaisimmalla tavalla: (3) Squrt (5).
Tästä on helppo arvioida.
-
Yhtenä viimeisenä esimerkkitehtävänä yritetään löytää 88: n neliöjuuri:
- Neliö (88)
- = Neliömetriä (2 × 44)
- = Neliömetriä (2 × 4 × 11)
- = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Meillä on useita 2: ta neliöjuurissamme. Koska 2 on alkuluku, voimme poistaa parin ja laittaa yhden neliöjuuren ulkopuolelle.
-
= Neliöjuurimme yksinkertaisimmillaan on (2) Sqrt (2 × 11) tai (2) Sqrt (2) Sqrt (11).
Sieltä voimme arvioida neliöt (2) ja neliöt (11) ja löytää halutessasi likimääräisen vastauksen.
Tapa 2/2: Neliöjuurien etsiminen manuaalisesti
Long Division -algoritmin käyttäminen
Vaihe 1. Erota numerosi numerot pareiksi
Tämä menetelmä käyttää pitkän jakamisen kaltaista prosessia tarkan neliöjuuren löytämiseksi numero kerrallaan. Vaikka se ei ole välttämätöntä, saatat huomata, että tämä prosessi on helpoin suorittaa, jos järjestät visuaalisesti työtilasi ja numerosi toimiviksi paloiksi. Piirrä ensin pystysuora viiva, joka erottaa työalueesi kahteen osaan, ja piirrä sitten lyhyempi vaakasuora viiva oikean osan yläosan lähelle, jotta voit jakaa oikean osan pieneen yläosaan ja suurempaan alaosaan. Erota numerosi numerot pareiksi desimaalipisteestä alkaen. Esimerkiksi tämän säännön mukaan 79, 520, 789, 182.47897 muuttuu "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Kirjoita numerosi vasemman tilan yläreunaan.
Yritetään esimerkiksi laskea neliöjuuri 780,14. Piirrä kaksi viivaa jakaaksesi työtilasi kuten yllä ja kirjoita "7 80. 14" vasemman tilan yläreunaan. Se on okei. että vasemmanpuoleisin palanen on yksinäinen luku numeroparin sijasta. Kirjoitat vastauksesi (neliöjuuri 780,14.) Oikeassa yläkulmassa
Vaihe 2. Etsi suurin kokonaisluku n, jonka neliö on pienempi tai yhtä suuri kuin vasemmanpuoleisin luku (tai pari)
Aloita numerosi vasemmasta "palasesta", olipa kyseessä pari tai yksittäinen numero. Etsi suurin täydellinen neliö, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin tämä pala, ja ota sitten tämän täydellisen neliön neliöjuuri. Tämä luku on n. Kirjoita n oikeaan yläkulmaan ja kirjoita n: n neliö oikeaan alakulmaan.
Esimerkissämme vasemmalla oleva "palo" on numero 7. Koska tiedämme, että 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, voimme sanoa, että n = 2, koska se on suurin kokonaisluku, jonka neliö on pienempi tai yhtä suuri kuin 7. Kirjoita 2 oikeassa yläkulmassa. Tämä on vastauksemme ensimmäinen numero. Kirjoita 4 (neliö 2) oikeaan alakulmaan. Tämä luku on tärkeä seuraavassa vaiheessa.
Vaihe 3. Vähennä juuri laskamasi luku vasemmasta parista
Kuten pitkän jakamisen tapauksessa, seuraava askel on vähentää juuri löytämämme neliö juuri analysoidusta palasta. Kirjoita tämä numero ensimmäisen palan alle ja vähennä ja kirjoita vastauksesi alle.
-
Esimerkissämme kirjoitetaan 4 alle 7 ja vähennetään sitten. Tämä antaa meille vastauksen
Vaihe 3..
Vaihe 4. Pudota seuraava pari alas
Siirrä seuraava "palo" numerossa, jonka neliöjuuria ratkaiset, alas juuri löytämäsi vähennetyn arvon viereen. Kerro seuraavaksi oikeassa yläkulmassa oleva luku kahdella ja kirjoita se oikeaan alakulmaan. Varaa juuri kirjoittamasi numeron viereen tilaa kertolaskutehtävälle, jonka teet seuraavassa vaiheessa kirjoittamalla '"_ × _ ="'.
Esimerkissämme numeromme seuraava pari on "80". Kirjoita "80" vasemman neljänneksen 3 viereen. Kerro seuraavaksi oikeassa yläkulmassa oleva luku kahdella. Tämä luku on 2, joten 2 × 2 = 4. Kirjoita "4" oikeaan alakulmaan ja sen jälkeen _×_=.
Vaihe 5. Täytä tyhjät tilat oikeassa neljänneksessä
Sinun on täytettävä jokainen juuri kirjoittamasi tyhjä tila oikeassa neljänneksessä samalla kokonaisluvulla. Tämän kokonaisluvun on oltava suurin kokonaisluku, joka sallii oikean neljänneksen kertolaskentatuloksen olevan pienempi tai yhtä suuri kuin vasemmalla oleva nykyinen luku.
Esimerkissämme täyttämällä tyhjät tilat kahdeksalla saat 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Tämä on suurempi kuin 380. Siksi 8 on liian suuri, mutta 7 todennäköisesti toimii. Kirjoita 7 tyhjille tiloille ja ratkaise: 4 (7) × 7 = 329. 7 tarkistaa, koska 329 on pienempi kuin 380. Kirjoita 7 oikeassa yläkulmassa. Tämä on numero 780.14: n neliöjuuren toinen numero
Vaihe 6. Vähennä juuri laskamasi numero nykyisestä vasemmalla olevasta numerosta
Jatka pitkään jaetun tyylin vähennysketjua. Ota kertolaskutehtävän tulos oikeasta neljänneksestä ja vähennä se vasemmalla olevasta nykyisestä numerosta kirjoittamalla vastauksesi alla.
Esimerkissämme vähennämme 329 numerosta 380, mikä antaa meille 51.
Vaihe 7. Toista vaihe 4
Pudota seuraavan numeron osa, jonka neliöjuuri on alaspäin. Kun saavutat numerosi desimaalipilkun, kirjoita desimaalipiste vastaukseesi oikeassa yläkulmassa. Kerro sitten oikeassa yläkulmassa oleva luku kahdella ja kirjoita se tyhjän kertolaskun ("_ × _") viereen kuten edellä.
Esimerkissämme, koska kohtaamme nyt desimaalipilkun kohdassa 780.14, kirjoita desimaalipiste nykyisen vastauksemme jälkeen oikeassa yläkulmassa. Seuraavaksi pudota seuraava pari (14) alas vasempaan neljännekseen. Kaksi kertaa oikeassa yläkulmassa (27) oleva luku on 54, joten kirjoita "54 _ × _ =" oikeaan alakulmaan
Vaihe 8. Toista vaiheet 5 ja 6
Etsi suurin numero täyttääksesi tyhjät kohdat oikealla, joka antaa vastauksen, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin nykyinen numero vasemmalla. Ratkaise sitten ongelma.
Esimerkissämme 549 × 9 = 4941, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin vasemmalla oleva luku (5114). 549 × 10 = 5490, mikä on liian korkea, joten 9 on vastauksemme. Kirjoita seuraava numero 9 oikeaan yläkulmaan ja vähennä kertolaskun tulos vasemmalla olevasta numerosta: 5114 miinus 4941 on 173
Vaihe 9. Jatka numeroiden laskemista
Pudota nollapari vasemmalle ja toista vaiheet 4, 5 ja 6. Tarkkuuden lisäämiseksi jatka tämän prosessin toistamista löytääksesi sadan, tuhannen jne. Paikan vastauksestasi. Jatka tätä sykliä, kunnes löydät vastauksesi haluttuun desimaaliin.
Prosessin ymmärtäminen
Vaihe 1. Tarkastele neliöjuurena laskettavaa lukua neliön alueena S
Koska neliön pinta -ala on L2 jossa L on yhden sen sivun pituus, joten yrittämällä löytää numerosi neliöjuuri yrität laskea neliön sivun pituuden L.
Vaihe 2. Määritä kirjainmuuttujat vastauksesi jokaiselle numerolle
Määritä muuttuja A L: n ensimmäiseksi numeroksi (neliöjuuri, jota yritämme laskea). B on sen toinen numero, C kolmas ja niin edelleen.
Vaihe 3. Määritä kirjainmuuttujat jokaiselle aloitusnumerosi "palalle"
Määritä muuttuja SaS: n ensimmäiseen numeropariin (lähtöarvo), Sb toinen numeropari jne.
Vaihe 4. Ymmärrä tämän menetelmän yhteys pitkäjakoon
Tämä menetelmä neliöjuuren löytämiseksi on pohjimmiltaan pitkä jako -ongelma, joka jakaa aloitusnumerosi sen neliöjuurella ja antaa siten neliöjuuren vastaukseksi. Aivan kuten pitkä jako -ongelma, jossa olet kiinnostunut vain seuraavasta numerosta kerrallaan, täällä olet kiinnostunut kahdesta seuraavasta numerosta kerrallaan (jotka vastaavat neliöjuuren seuraavaa numeroa kerrallaan)).
Vaihe 5. Etsi suurin numero, jonka neliö on pienempi tai yhtä suuri kuin Sa.
Vastauksemme ensimmäinen numero A on tällöin suurin kokonaisluku, jossa neliö ei ylitä S: ääa (tarkoittaa A niin, että A² ≤ Sa <(A+1) ²). Esimerkissämme S.a = 7 ja 2² ≤ 7 <3², joten A = 2.
Huomaa, että jos esimerkiksi haluat jakaa 88962: n 7: llä pitkän jakamisen avulla, ensimmäinen vaihe olisi samanlainen: katsoisit 88962: n ensimmäistä numeroa (8) ja haluat suurimman numeron, joka kerrottuna 7, on pienempi tai yhtä suuri kuin 8. Pohjimmiltaan havaitset d: n siten, että 7 × d ≤ 8 <7 × (d+1). Tässä tapauksessa d olisi yhtä kuin 1
Vaihe 6. Visualisoi neliö, jonka aluetta alat ratkaista
Vastauksesi, aloitusnumerosi neliöjuuri, on L, joka kuvaa alueen S (aloitusnumerosi) neliön pituutta. Arvot A, B, C edustavat arvon L. numeroita. Toinen tapa sanoa tämä on, että kaksinumeroisen vastauksen tapauksessa 10A + B = L, kun taas kolminumeroinen vastaus on 100A + 10B + C = L ja niin edelleen.
Esimerkissämme (10A+B) ² = L2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Muista, että 10A+B edustaa vastaustamme L, jossa B on yksikköasennossa ja A on kymmenen. Esimerkiksi kun A = 1 ja B = 2, 10A+B on yksinkertaisesti numero 12. (10A+B) ² on koko neliön pinta -ala, kun taas 100A² alueen suurimman neliön alue, B² on pienimmän neliön pinta -ala ja 10A × B on kahden jäljellä olevan suorakulmion pinta -ala. Suorittamalla tämän pitkän, mutkikkaan prosessin löydämme koko neliön alueen lisäämällä sen sisällä olevien neliöiden ja suorakulmioiden alueet yhteen.
Vaihe 7. Vähennä A² S: stäa.
Pudota yksi pari (S.b) S. S.: n numeroistaa Sb on melkein neliön kokonaispinta -ala, josta vähensit juuri suuremman sisäisen neliön alueen. Loppuosa voi olla vaikka numero N1, jonka saimme vaiheessa 4 (N1 = 380 esimerkissämme). N1 on 2 × 10A × B + B² (kahden suorakulmion pinta -ala plus pienen neliön pinta -ala).
Vaihe 8. Etsi N1 = 2 × 10A × B + B², joka on myös kirjoitettu muotoon N1 = (2 × 10A + B) × B
Esimerkissämme tiedät jo N1 (380) ja A (2), joten sinun on löydettävä B. B ei todennäköisesti ole kokonaisluku, joten sinun on itse asiassa löydettävä suurin kokonaisluku B, jotta (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Joten sinulla on: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)
Vaihe 9. Ratkaise
Voit ratkaista tämän yhtälön kertomalla A: n 2: lla, siirtämällä sen kymmenien asemaan (mikä vastaa kertomista 10: llä), asettamalla B yksiköiden asemaan ja kertomalla saatu luku B: llä. (2 × 10A + B) × B. Näin teet, kun kirjoitat "N_ × _ =" (N = 2 × A) oikeassa alakulmassa vaiheessa 4. Vaiheessa 5 löydät suurimman kokonaisluku B, joka sopii alaviivaan siten, että (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
Vaihe 10. Vähennä pinta -ala (2 × 10A + B) × B kokonaispinta -alasta
Tämä antaa sinulle alueen S- (10A+B) ², jota ei ole vielä otettu huomioon (ja jota käytetään seuraavien numeroiden laskemiseen samalla tavalla).
Vaihe 11. Laske seuraava numero C toistamalla prosessi
Pudota seuraava pari (S.c) S: stä saadaksesi vasemmalle N2 ja etsi suurinta C: tä (2 × 10 × (10A+B)+C) × C ≤ N2 (vastaa kaksinkertaisen kaksinumeroisen luvun "AB" kirjoittamista) jota seuraa "_ × _ =". Etsi suurin tyhjiin mahtuva numero, joka antaa vastauksen, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin N2, kuten aiemmin.
Video - Käyttämällä tätä palvelua joitakin tietoja voidaan jakaa YouTuben kanssa
Vinkkejä
- Esimerkissä 1,73 voidaan pitää "jäännöksenä": 780,14 = 27,9² + 1,73.
- Tämä menetelmä toimii kaikilla kannoilla, ei vain kanta 10: ssä (desimaali).
- Jos desimaalipistettä siirretään numerossa kahden numeron lisäyksellä (kerroin 100), desimaalipiste siirretään yhden luvun lisäyksillä sen neliöjuurissa (kerroin 10).
- Voit vapaasti esittää laskelman joka tapauksessa, missä olet mukavampi. Jotkut ihmiset kirjoittavat tuloksen aloitusnumeron yläpuolelle.
- Vaihtoehtoinen menetelmä, jossa käytetään jatkuvia murto -osia, voi noudattaa tätä kaavaa: √z = √ (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x +…))). Esimerkiksi neliöjuuren 780,14 laskemiseksi kokonaisluku, jonka neliö on lähimpänä 780,14, on 28, joten z = 780,14, x = 28 ja y = -3,86. Liittäminen ja arvioinnin suorittaminen vain x + y/(2x) tuottaa jo (alimmalla tasolla) 78207/2800 tai noin 27.931 (1); seuraava kausi, 4374188/156607 tai noin 27.930986 (5). Jokainen termi lisää lähes 3 desimaalin tarkkuutta edelliseen.
Varoitukset
Muista erottaa numerot pareiksi desimaalipisteestä. Erotetaan 79, 520, 789, 182.47897 nimellä "79 52 07 89 18 2.4 78 97 "tuottaa hyödyttömän numeron.
Laskin
Neliönjuurilaskin